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[今週のおススメ ] 2018,11,13
(本欄は、原則として、毎週火曜日に更新します。更新時刻は決まっていません。)


--存在仮定--

 

 10月30日に本欄で取り上げた書籍「数学を使わない数学の講義」について、「明日への休憩室」で寄稿していただいた森田憲一さん(広島大学名誉教授)からコメントが届きました。前々回の本欄では書籍全体を肯定的に取り上げたのですが、森田さんは、2つの話題に絞って、不備を指摘してくれました。

 

 本欄の後半に森田さんのコメント全文を転記するのですが、書籍を読んでいない人のために、ひとつの話題の抜粋を記します。(出版社の了解を得ています。)

 

今週のおススメ(1); 今回の本欄は長くなってしまいますが、面白く感じていただけると思いますので、最後までお読みになることをおススメします。

 

=====「数学を使わない数学の講義」新書版22ページ 抜粋====

 例えば、あなたの友人の一人があなたに対してこう言ったとする。「実は、俺の妹は兄貴の俺も惚れ惚れするほどの美人なんだが、どういうわけかお前に惚れちゃってどうしようもない。よかったらお前、ひとつ妹とデートしてくれないだろうか・・?」こう言われて、悪い気のする男なんていようはずもない。

(中略)

待ち合わせ場所の喫茶店に行くと、友だちが一人いるだけで、妹なんて影も形も見えない。「どうしたんだ」と問い質すと、「悪いなあ、実は俺は一人っ子で妹なんていないんだよ」と言ったとする。もちろん、あなたはカッカと頭に来て「嘘をつくのもいい加減にしろ! お前なんかもう絶交だ」と言って喫茶店を飛び出すに違いない。

 常識的にいえば、当然、その友達が言ったことは、真っ赤な嘘ということになるだろう。しかし、数学的な論理で言えば、彼の言っていることは正しいのである。

(中略)

妹が実際に存在しないとすれば、その妹については何を言っても正しい。・・・つまり、存在しないものについてはいかなる命題も成り立つ、というのが数学的論理の一つの特徴なのである。

(中略)

中学校の試験で「次の図形で対角線が直交するものを挙げよ」という問題がだされて、いろいろな図形がズラッと並んでいた。その中に三角形もあって、あまりできのよくないその子は三角形に丸をつけてしまった。数学の教師は当然のこととしてその答えに対しバッテンをつけた。しかし、これは本当はおかしいのである。というのも、三角形には元々対角線というものが存在しない。だから、存在しないものについては何を言っても正しい。・・・

===============================

 

以上が最初の話題です。それでは、つぎに、森田さんのコメント全文を転記します。

 

・・・・・・・・森田憲一さんのコメント・・・・・・・・・・

「数学を使わない数学の講義」の感想

 

 本書はまだ全部を読んでいませんので、私が誤解しているところもある

かもしれませんが、読んだ範囲で感想を書くことにします。

 

 まず、本書の高く評価できる点は、西洋の論理学を正しく知って正確な

思考・推論を行うことの重要性を指摘し、社会に現れるいろいろな例を用い

て論理学や論理的思考の方法を分かり易く説明しようと努めていることです。

 

 しかし、本書を低く評価せざるを得ないのは次の点です。

上述のように、著者は、正しい思考・推論は非常に大事なことだと言って

おきながら、少なくとも二箇所で重大な論理的誤りを犯しています。

数式などの数学的道具は使わないとしても、主張点に不正確さや誤りが

あったりすると、本書の場合、信頼度がガタ落ちになってしまいます。

 

 私は、25-35年前に、自然言語の論理的意味論について研究していた

ことがあり、その関連で現代の数理論理学、古代ギリシャの論理学などを

勉強していました。

 

またそのころ、仏教の空の思想/論理にも興味を持っていました。

そのような観点から、本書の論理的欠陥を指摘します。

 

 本書では、しょっぱな付近からインチキな事が述べられています(その

箇所は、第1 1 2番目の小見出し「真っ赤な嘘も数学的には正解」(p.17=新書版22頁;以下同様に新書版のページを付記します(編集部))3番目の小見出し「存在しないものに関しては何を言っても正しい」(p.20=24頁) の部分です)。

 

まず、p.18=22頁には、実際には妹はいないのに

 『俺の妹は美人だ』

と公言した輩のことが書かれています。

この言明は、常識的ないし直観的に考えると明らかに「真っ赤な嘘」です

(もしそう思わない人がいたら理由を聞いてみたいものです)。

 

しかし、pp.18-19=23頁 には、

「妹が実際に存在していないとすれば、その妹については何を言っても正しい」

(だから嘘ではない)という訳の分からないことが書いてあります。

本書の著者のこのような誤解は、『俺の妹は美人だ』という自然言語文が

表す論理的意味を、現代論理学における標準的な論理体系である述語論理で

どのように表現すべきかを正しく理解していないことによります。

 

 自然言語に基く推論や、それの分析から導かれたアリストテレスの

三段論法などでは、「推論は常に存在する事物に関してなされる」という

暗黙の前提があり、これを「存在仮定」(existential import) と呼びます。

(例えばhttps://kotobank.jp/word/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%BB%AE%E5%AE%9A-1357331 を参照願います。)

 

 「『俺の妹』が存在しないなら『俺の妹は美人だ』と述べるのは正しい」

という著者の主張は、述語論理の初歩だけを生半可に知っているがために、

自然言語表現に内在する存在仮定が見えなくなってしまった、ゴリ押しの詭弁です。

 

一方、述語論理がわからなくても、自然言語をちゃんと使える「普通の人」は、『俺の妹』がいないのに『俺の妹は美人だ』と言うのは「真っ赤な嘘」だと

心得ており、その点で普通の人は「存在仮定」(という用語を知らなくてもそれ)を無意識のうちによく理解しているということです。

 

 上のことを述語論理式で書いて比較すると次のようになります(ここのところは分かりにくいかもしれませんので、場合によりスキップしてもらって結構です)。

ここでは、論理演算子として and (論理積), or (論理和), not (否定),

--> (含意、つまり「ならば」) 4種類が使えるとします。

なお、PQを命題とするとき、P --> Q (つまり、『P ならば Q』)は、

Pが真でQが偽のときだけ偽、それ以外の場合には真になる論理関数です。

次に限量詞として、A (全称限量詞, for all, 本当はAのさかさまで表現しますが、ここではA), E (存在限量詞, there exist) を使います。

x, y などを、個体を表す変数、また、例えば『俺の妹(x)』を「xは俺の妹である」を表す「述語」とします。

『俺の妹(x)』は、xに代入する個体に依存して真または偽の値をとる関数です。

 

 このとき、『俺の妹は美人だ』という日本語文を「存在仮定なし」に

述語論理式で表現すると、次のようになります。

  A x (俺の妹(x) --> 美人(x))

これは、「どんな個体 x をとってきても、xが俺の妹であるならば、xは美人だ」

ということで、『俺の妹は美人だ』を正しく表現しているかのように見えますが、

もし、『俺の妹』がいなければ、どんなxをとってきても 『俺の妹(x)』が

偽になり、従って --> 定義より『(俺の妹(x) --> 美人(x))』という論理関数がいつも真、それ故、著者の言う述語論理式『A x (俺の妹(x) --> 美人(x))』も真になってしまいます。

しかしこれでは直観に合いません。

 

 一方、この文を「存在仮定つき」の述語論理式で表現すると次のようになります。

  (E x (俺の妹(x))) and ( A x (俺の妹(x) --> 美人(x)))

つまりこの式全体が真になるためには、(E x (俺の妹(x))) が真になることが

必要です。

 

つまり、『俺の妹(x)』を真にするxがまず存在しないといけないので、

妹のいない人が『俺の妹は美人だ』というと (E x (俺の妹(x))) が偽となり、

従って、真っ赤な嘘になるということが論理的に正確に説明できます。

 

自然言語の論理的意味については他にもいろいろと難しい問題がありますが、

少なくともここでは、著者が自然言語文における「存在仮定」という特性を

全く理解していないために、おかしな議論に陥ってしまっているのです。

 

 また、本書には「存在しないものについてはいかなる命題も成り立つ」(p.19中程=23頁末尾) という全く乱暴な主張もありますが、もし本当に「いかなる命題」も成り立つのなら『俺の妹が存在しない』ときに、

  『俺の妹は存在する』

も成り立つことになり、言語体系ないしは論理体系が矛盾を含み、破綻します。

 

 p.21=24頁の中程にある「次の図形で対角線が直交するものを挙げよ」についても上と同様で、存在仮定を明示してこの文を論理的により正確に述べると「次の図形のうち対角線が存在し、それらが直交するものを挙げよ」

ということになり、学校(または塾?)の教師の採点が正しいことになります。

もっとも、小中学生を惑わすこのような問題は出すべきではない、という

ことであれば本書の著者と同意見ですが。

 

 なお、人は、この世には存在しない空想上の事物(例えば『龍』)や、抽象的

概念について述べることもあります。そういうときには、その対象物(「外延」

といいます)が存在しなくても、それをいわば思い浮かべられるような「性質」

(「内包」といいます)が定められていれば、論理上存在すると考える立場も

あります。

 

このようなことを可能にするのが「内包論理」という論理体系です。

例えば、龍についての共通認識をもつ人たちの世界では、

  『龍は胴の短い動物である』

という言明は(龍の外延が存在しなくても内包は存在するので)「偽」で

あると判断できます。

 

 本書の第一の論理的誤りは上に述べた通りです。

 

次に指摘する第二の論理的誤りは仏教に関する部分です(第3 2 の小見出し

「「死ねば成仏」- 日本人の恐るべき仏教誤読」(p.159=168頁)

「救済を保証しないからこそ、仏教は難解」(p.163=172頁)

「仏教とユダヤ教では戒律は数学的に正反対」(p.166=174頁)

「確率論を決定論にすりかえた日本仏教の堕落」(p.167=176頁) )。

 

この部分には的を得ている記述も多少はありますが、仏教を西洋の論理

(後述の「分別智」)で理解しようとしているところに根本的な誤りがあり、

全体としては全く見当はずれの議論になってしまっています。

 

 仏教には「分別智」(あるものと別のものを区別することによって得られる

便宜的な知識)と「無分別智」(物事を区別することにはよらない真の智慧)

があります。

 

分別智は簡単に言えば集合論的な知識であり、現代の論理学や数学を

はじめ、すべての科学がよって立つ知識です。

 

一方、無分別智は、説明が非常に難しいのですが、すべての偏見を取り除いて世界を見ることによって理解される智慧です(本当は、理解さえされない智慧です)。

 

 このあたりのことを正しく述べるには私の能力が不足しているのですが、

それを敢えて述べた拙文(日本語版と英語版)を添付しますので、もしも

興味をお持ちでしたらご一読ください。

(編集部注; 著作権の問題が発生する可能性がありますので、現時点での掲載はいたしません。興味を持たれた方は、当社宛にご連絡ください。個別にメール等でお送りします。なお、送っていただいた文献の情報はつぎの通りです。

  LAシンポジウム会誌 第4号 「ゲーデルと龍樹」(1985)

② Progress in Biophysics and Molecular Biology,131(2017)469-493 “East-West paths to unconventional computing”, 471 Kenichi Morita: “unconventional knowledge”

 

日本語版のほうは30数年前に書いたものです。

英語版は、昨年ある人から、現代のコンピュータ科学と東洋思想との

かかわりについて、論文の one section 分のエッセイを書いてくれないか

という依頼を受け、日本語版をもとに、仏教の空の思想と数理論理学の

関係を述べたものです。なお、英語の論文の方は出版後に外国から割合い多くの反響がありました。

 

 空の思想や無分別智は、西洋の論理とは違う異質なものですが、仏教の本質に深くかかわっており、仏教を論理的に考察する場合には避けて通れないものです。しかし、「数学を使わない・・・」の著者は、西洋の論理、つまり分別智に基いて、例えば「必要十分条件」(p.161=169頁) といった言葉を持ち出し、薄っぺらでどうでもよい議論をしているだけですので全く失望してしまいました。

 

 本書の著者が全体として主張していること、つまり、数学が不得意な人でも

西洋の論理はそう難しくないので、一つの方法論としてちゃんと身につけると

いろんなよいことがありますよということには、私も異論はありません

(私も昔、述語論理を学んで大変役に立ちました)。

しかしそれ以外の可能性を閉ざしているように見えるところに違和感を感じます。

 

例えば、p.160=169頁の中程から少し後に、「日本人は、論理がないばかりに、仏教に関しても恐るべき誤読をする」と決めつけていますが、この著者のような論理で仏教を理解しようとすると、ますます頓珍漢なことになってしまいます。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 

以上が森田さんのコメントです。ご本人の許可を得て掲載いたしました。ここから先は、本欄筆者の感想や本欄の本文になります。

 

「俺の妹」に関しては、存在仮定の重要性が分かりましたし、それに言及しなかった原著者(=小室直樹)のバックグラウンドにも疑義を感じます。一方、仏教に関しては、無分別智の観点があることはそうだろうと思いますが、原著者の筆運びのテンポの良さも魅力になっていることは否めないと思います。

 

また、仏教に関してこういう見方(小室直樹の見方)もあるのだということを知ることができ、何かスッキリした感じもしましたので、頓珍漢という言葉で切り捨てるのもどうかなという気がします。

 

 ということで、本欄の筆者としてましは、原書籍には上述のような限界があることに留意しつつ、数学的観点(?)からの原著者の筆致を楽しめばいいのではないかと提案します。

 

今週のおススメ(2): いろいろな意見を知ることが、理解を深めてくれるようです。驚いただけだった原文の最初の話題(「俺の妹」)について、森田さんのような異なる見方があり、それが直感に合致することを知ると、もう少し考えてみようということになります。森田さんのコメントに出てきた述語論理の式なども、インターネットで調べてみると理解しやすくなりますので、これを契機として、論理学の初歩の初歩に触れてみるのもいいかも知れません。そして、本欄の筆者としては、原書籍を、限界や欠点があると付記したうえで、おススメしたいと思います。

 

 

 

 

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